Sprung von Pythagoras und irrationale Zahlen

 

Es ist interessant zu sehen, wie jener Sprung von Pythagoras unterdies hilft, die Status einer irrationalen Zahl aufwärts jener Zahlenlinie zu identifizieren. Betrachten Sie eine Zahl x, die eine rationale Zahl, im Unterschied dazu kein perfektes Quadrat ist. Daraus folgt, dass die Quadratwurzel von x irrational sein muss, dh eine nicht terminierende und nicht wiederkehrende Dezimalzahl. Nun ist es unser Motivation festzustellen, wo dies aufwärts jener Zahlenlinie liegt. Betrachten wir dazu ein rechtwinkliges Trigon, dessen Lager gleich (x-1) / 2 ist und dessen Hypotenuse gleich (x + 1) / 2 ist. Welches wäre die Höhe dieses rechtwinkligen Dreiecks, wir meinen, des anderen Arms des rechtwinkligen Dreiecks? Nehmen wir an, es ist y. Welcher Sprung von Pythagoras sagt uns, dass die Summe jener Quadrate jener Arme eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat jener Hypotenuse ist. In dasjenige Trigon, dasjenige wir ohne Rest durch zwei teilbar betrachtet nach sich ziehen, können wir schreiben:

[(x – 1) / 2] ^ 2 + y ^ 2 = [(x + 1) / 2] ^ 2

Oder y ^ 2 = [(x + 1) / 2] ^ 2 – [(x – 1) / 2] ^ 2

= [(x ^ 2 + 2x + 1) / 4] – [(x ^ 2 – 2x + 1) / 4]

= [(x ^ 2 + 2x + 1) – (x ^ 2 – 2x + 1)] / 4

= [x ^ 2 + 2x + 1 – x ^ 2 + 2x – 1)] / 4

= 4x ​​/ 4

= x

dh y ^ 2 = x ?? y = √x

Dies ist genau dasjenige, worauf wir gesucht nach sich ziehen, die Quadratwurzel von x, die irrational ist. Jetzt kann die Länge des dritten Arms des von uns konstruierten Dreiecks mit einem Kompass aufwärts jener Zahlenlinie markiert werden.

Wenn Sie daher nachher jener Größe von √x suchen, umziehen wir so vor. Markieren Sie kombinieren Zähler A. Markieren Sie B so, dass AB = x Einheiten. Markieren Sie Kohlenstoff so, dass BC = 1 Maß ist. Dasjenige heißt, AC = x + 1. Bisect AC. Wenn D jener Halbierungspunkt von AC ist, ist AD = DC = (x + 1) / 2. Wie weit wäre die DB? Da DC = (x + 1) / 2 und BC = 1 ist, ist DB = DC – BC = [(x + 1) / 2] – 1. Dasjenige ist (x + 1-2) / 2 oder (x-1) / 2.

Lassen Sie uns jetzt dasjenige Trigon konstruieren. Zeichnen Sie eine Linie senkrecht zu AC unter B. Schneiden Sie von D aus die vertikale Linie unter E so, dass DE = AD ist. Jetzt nach sich ziehen wir ein rechtwinkliges Trigon, in dem die Lager (x-1) / 2 und die Hypotenuse (x + 1) / 2 ist. Können Sie sehen, wie hoch dasjenige Pegel pro BE sein wird? Natürlich wird es, wie wir oben gezeigt nach sich ziehen, √x sein. Sie können sie Länge von BE jetzt mit dem Kompass aufwärts die Zahlenlinie veräußern.

Versuchen Sie, √5, √7, √11, √6.8 und √9.5 in jener Zahlenreihe darzustellen. Jeder von ihnen darf kaum ein paar Minuten oder weniger dauern.

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